ESTATÍSITICA GRACELI EM:

1 / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.= $\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T. [-1]

VALÊNCIA [ V ]

DE = DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA.

1 / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.= $\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$ ${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.[-1]

1 / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T. [-1]=

1 / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T. [-1] / ${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ ,

em que $g_{s}$ é a degenerescência quântica do estado $s$ , $\epsilon _{s}$ é a energia do estado $s$ , $\mu$ é o potencial químico, e $\beta =1/k_{B}T$ , em que $k_{B}$ é a constante de Boltzmann[1].

1 / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.= $N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}$ + $\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$ ${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

1 / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.= $\frac{1}{\lambda}=R \left( \frac{1}{n_{i}^2} - \frac{1}{n_{f}^2} \right). \,$ + $\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$ ${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

1 / $\frac{1}{\lambda}=R \left( \frac{1}{n_{i}^2} - \frac{1}{n_{f}^2} \right). \,$ [-1]/

$N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}$

Através das descrições quânticas da radiação eletromagnética propostas por Albert Einstein e Max Planck, o físico dinamarquês Niels Bohr desenvolve seu modelo atômico a partir de quatro postulados:[3]

Os elétrons que circundam o núcleo atômico existem em órbitas que têm níveis de energia quantizados.
A energia total do elétron (cinética e potencial) não pode apresentar um valor qualquer e sim, valores múltiplos de um quantum.[1]
Quando ocorre o salto de um elétron entre órbitas, a diferença de energia é emitida (ou suprida) por um simples quantum de luz (também chamado de fóton), que tem energia exatamente igual à diferença de energia entre as órbitas em questão.
As órbitas permitidas dependem de valores quantizados (bem definidos) de momento angular orbital, L, de acordo com a equação

$\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$ [-1]

onde n = 1, 2, 3, ... é chamado de número quântico principal e h é a constante de Planck.[4]

A regra 4 afirma que o menor valor possível de n é 1. Isto corresponde ao menor raio atômico possível, de 0,0529 nm, valor também conhecido como raio de Bohr. Nenhum elétron pode aproximar-se mais do núcleo do que essa distância.

O modelo de átomo de Bohr é às vezes chamado de modelo semi-clássico do átomo, porque agrega algumas condições de quantização primitiva a um tratamento de mecânica clássica. Este modelo certamente não é uma descrição mecânica quântica completa do átomo. A regra 2 diz que as leis da mecânica clássica não valem durante um salto quântico, mas não explica que leis devem substituir a mecânica clássica nesta circunstância. A regra 4 diz que o momento angular é quantizado, mas não diz por quê.

1 /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T.=

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

, [V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T [-1].

Na mecânica quântica, equação de Dirac é uma equação de onda relativística proposta por Paul Dirac em 1928 que descreve com sucesso partículas elementares de spin-½, como o elétron. Anteriormente, a equação de Klein-Gordon (uma equação de segunda ordem nas derivadas temporais e espaciais) foi proposta para a mesma função, mas apresentou severos problemas na definição de densidade de probabilidade. A equação de Dirac é uma equação de primeira ordem, o que eliminou este tipo de problema. Além disso, a equação de Dirac introduziu teoricamente o conceito de antipartícula, confirmado experimentalmente pela descoberta em 1932 do pósitron, e mostrou que spin poderia ser deduzido facilmente da equação, ao invés de postulado. Contudo, a equação de Dirac não é perfeitamente compatível com a teoria da relatividade, pois não prevê a criação e destruição de partículas, algo que apenas uma teoria quântica de campos poderia tratar.

A equação propriamente dita é dada por:

1 / [V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T.=

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

, [V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T

[-1]

na qual m é a massa de repouso do elétron, c é a velocidade da luz, p é o operador momentum linear $\hbar$ é a constante de Planck divida por 2π, x e t são as coordenadas de espaço e tempo e ψ(x, t) é uma função de onda com quatro componentes.

Cada α é um operador linear que se aplica à função de onda. Escritos como matrizes 4×4, são conhecidos como matrizes de Dirac. Uma das escolhas possíveis de matrizes é a seguinte:

1 / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.= ${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ , [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

A eletrodinâmica quântica é uma teoria abeliana de calibre, dotada de um grupo de calibre U(1).

O campo de calibre que media a interação entre campos de spin 1/2, é o campo eletromagnético, que se apresenta sob a forma de fótons.

A descrição da interação se dá através da lagrangiana para a interação entre elétrons e pósitrons, que é dada por:

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T [-1].

onde $\ \psi$ e sua adjunta de Dirac $\psi ^{*}$ são os campos representando partículas eletricamente carregadas, especificamente, os campos do elétron e pósitron representados como espinores de Dirac.

Teoria quântica de campos NA MECÂNICA QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DE GRACELI.

A teoria quântica de campos ou teoria quântica de campo (abreviada para TQC ou QFT, do inglês, Quantum field theory) é um conjunto de ideias e técnicas matemáticas usadas para descrever quanticamente sistemas físicos que dispõem de um número infinito de graus de liberdade. TQC fornece a estrutura teórica usado em diversas áreas da física, tais como física de partículas elementares, cosmologia e física da matéria condensada.[1][2]

O arquétipo de uma teoria quântica de campos é a eletrodinâmica quântica (tradicionalmente abreviada como QED, do inglês Quantum Eletrodynamics), e que descreve essencialmente a interação de partículas eletricamente carregadas através da emissão e absorção de fótons.

Dentro desse paradigma, além da interação eletromagnética, tanto a interação fraca quanto a interação forte são descritas por teorias quânticas de campos, que reunidas formam o que conhecemos por Modelo Padrão que considera tanto as partículas que compõem a matéria (quarks e léptons) quanto as partículas mediadoras de forças (bósons de gauge) como excitações de campos fundamentais.[3]

História

Advento da teoria clássica dos campos

Pode-se considerar que a noção de campo surgiu inicialmente como uma construção matemática na descrição da gravitação newtoniana. No século XIX, tal formalismo logo foi estendido tanto para fenômenos elétricos quanto magnéticos por físicos como Ampère, Ohm e Faraday.

Devido aos trabalhos de Maxwell, o conceito de campo passa a ocupar o papel de maior importância na descrição fenomenológica da realidade. Maxwell mostrou, através de um conjunto de equações que recebem seu nome, que os fenômenos magnéticos e elétricos estão intrinsecamente associados e que devem ser descritos por uma única entidade: o campo eletromagnético.[4]

Conceitualmente, Maxwell mostrou a relação entre campos elétricos e magnéticos, bem como o reconhecimento de que a luz (óptica) é uma manifestação particular deste campo eletromagnético. Dentro dessa perspectiva histórica, a unificação dos fenômenos eletromagnéticos realizado por Maxwell foi a segunda grande unificação, a primeira sendo a unificação da dinâmica celeste e terrestre realizada por Isaac Newton ainda no século XVII.[5]

Mecânica, Eletromagnetismo e Relatividade

O eletromagnetismo foi a razão de ser do surgimento da relatividade. Com a inadequação das transformações de Galileu quando aplicadas à equação de onda tridimensional, surgiu um dilema: ou se preservava a mecânica clássica e abandonava-se o nascente eletromagnetismo, ou se preservava este e abandonava-se quase três séculos de previsões solidamente confirmadas pela experimentação.

O caminho foi achado, surpreendentemente, numa espécie de conciliação entre as duas alternativas.

Inicialmente, Woldemar Voigt derivou em 1887 um conjunto de relações, baseado apenas na equação de onda ordinária, devida a Jean D'Alembert. Essas relações eram transformações espaciais e temporais que deixavam invariante a forma desta equação.

Estas relações são as que se conhecem como transformações de Lorentz-Fitzgerald, cientistas que redescobriram estas transformações mais tarde. Em particular, Lorentz o fez num contexto diferente, na tentativa de se reconciliar as teorias do éter com os resultados de experiências físicas, tais como a de Michelson-Morley. Einstein então entra em cena, com seu trabalho seminal de 1905, "Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento", onde introduz a relatividade, interpretando corretamente as transformações de Lorentz-Fitzgerald como alterações do espaço e do tempo em função da velocidade relativa entre os referenciais.

Termodinâmica e mecânica quântica

A mecânica quântica surgiu da incapacidade conjunta da termodinâmica e do eletromagnetismo clássicos de prever a correta distribuição de energias em função da frequência no problema da radiação de corpo negro.

A tentativa de derivação feita por Lord Rayleigh e por James Jeans postulava que cada onda eletromagnética estava em equilíbrio com as paredes do forno. Isso se traduz num teorema que mantém sua validade mesmo na mecânica quântica:

Numa cavidade fechada em equilíbrio térmico com o campo eletromagnético confinado, o campo é equivalente a um conjunto enumeravelmente infinito de osciladores harmônicos, e a sua energia é igual à soma das energias desses osciladores. Cada frequência corresponde aos osciladores tomados dois a dois.

Max Planck obteve a forma correta da distribuição porque postulou a quantização da energia dos osciladores harmônicos que comporiam as paredes da cavidade que confina a radiação. Essa hipótese teve por efeito introduzir um limite máximo de freqüência acima do qual há um corte (cutoff) nas contribuições dos entes (ondas eletromagnéticas) que estão em equilíbrio.

Einstein, para explicar o efeito fotoelétrico, ampliou o conceito da quantização para a energia radiante, postulando a existência do fóton (o que "implicitamente" quer dizer que as equações de Maxwell não tem validade ilimitada, porque a existência do fóton implica não-linearidades).

A antiga teoria quântica cedeu lugar à mecânica quântica moderna quando Schrödinger desenvolveu a famosa equação que leva o seu nome. Entretanto, a primeira versão que ele desenvolveu foi a equação que hoje é conhecida como equação de Klein-Gordon, que é uma equação relativista, mas que não descrevia bem o átomo de hidrogênio, por razões que só mais tarde puderam ser entendidas. Assim, ele abandonou a primeira tentativa, chegando à sua equação (equação de Schrödinger):

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

/

[V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T [-1].

A equação de Schrödinger acima colocada é a equação "dependente do tempo", pois o tempo aparece explicitamente. Neste caso, as soluções $\Psi$ são funções das coordenadas espaciais e do tempo.

Quando o potencial $\mathbf {V}$ não depende do tempo, ou seja, quando o campo de força ao qual a partícula está submetida é conservativo, é possível separar as variáveis $\mathbf {r}$ e $\mathbf {t}$ .

A equação que a parte espacial da função de onda $\Psi$ obedece é:

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T [-1].

conhecida como equação de Schrödinger "independente do tempo". Esta é uma equação de autovalores, ou seja, através dela se obtêm simultaneamente autofunções (no caso as funções de onda $\psi$ ) e autovalores (no caso, o conjunto das energias estacionárias $E$ ).

Formulação matemática

Mecânica clássica e mecânica quântica

A dinâmica de uma partícula pontual de massa $m$ em um regime não-relativístico, ou seja, em velocidades muito menores que a velocidade da luz, pode ser determinada através da função lagrangiana[6][7]

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ , / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

em que $(q^{i},{\dot {q}}^{i})$ (que são respectivamente coordenadas generalizadas para a posição e a velocidade da partícula) determinam o espaço de fase do sistema e $V(q)$ é o potencial em que a partícula se move. Minimizando o funcional ação

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

encontra-se a equação de movimento para esse sistema,

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ , / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

que é a equação de Newton, desde que

1 / $\mathbf {F} =-\nabla V(q)$ . [-1]

Existe outra formulação equivalente da mecânica clássica, conhecida como formulação hamiltoniana e que pode ser diretamente relacionada a formulação lagrangiana acima. Para se fazer contato entre as duas formulações, define-se o momento

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ , / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

de maneira que a função hamiltoniana é dada por

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ , / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

que para a escolha da lagrangiana acima, tem-se

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ . / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

Assim como no caso da função lagrangiana, a hamiltoniana descreve toda a dinâmica de um sistema clássico, portanto, considerando uma variação de $H(q^{i},p^{i})$ tem-se um par de equações diferenciais de primeira ordem conhecidas como equações de Hamilton

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ , / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

e que equivale a equação de Newton, que é de segunda ordem. No formalismo hamiltoniano, usando a regra da cadeia, pode-se escrever qualquer variação temporal de uma função $F=F(t;q(t);{\dot {q}}(t))$ , em termos das equações de Hamilton acima, de modo que,

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

/ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

onde o parêntese de Poisson é definido como

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ . / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

Existem diversas maneiras de realizar a quantização de um sistema clássico, tais como quantização por integrais funcionais e quantização canônica. Esse último método em particular, consiste na substituição do parêntese de Poisson por comutadores[8]

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ , / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

onde ${\hat {A}},{\hat {B}}$ , são operadores num espaço de Hilbert. Com essas substituições, o parêntese de Poisson entre duas coordenadas generalizadas torna-se

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ . / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

Um aspecto importante a ser observado é que os operadores ${\hat {p}}^{i}$ e ${\hat {E}}$ podem ser representados como os operadores diferencias

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

de maneira que a função hamiltoniana, torna-se um operador no espaço de Hilbert, chamado operador hamiltoniano que atua em uma função $\psi (q,t)$

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ , / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T [-1].

que é a equação de Schrödinger.

Teoria Clássica de Campos

A formulação lagrangiana e a hamiltoniana da mecânica clássica são refinamentos da mecânica newtoniana e permite o tratamento de sistemas com um número finito de graus de liberdade. Considerando um sistema mecânico unidimensional com $N$ graus de liberdade, que consiste de $N$ partículas pontuais de massa $m$ , separadas por uma distância $\epsilon$ e conectadas entre si por uma mola de constante elástica $\kappa$ . A lagrangiana para esse sistema é:

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ . / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.

Esse sistema pode ser estendido facilmente para o limite em que $N\to \infty$ e $L=\epsilon N\to \infty$ . No entanto, se o comprimento total do sistema estiver fixo, tem-se o limite contínuo $\epsilon \to 0$ , de modo que a lagrangiana terá a forma

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ ,/ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.

onde $\phi (t,x)$ representa o deslocamento da partícula relativa a posição $x$ no instante de tempo $t$ . Também, define-se as quantidades $\mu =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {m}{\epsilon }}$ $\nu =\lim _{\epsilon \to 0}\kappa \epsilon$ .

Generalizando essa discussão prévia para um sistema relativístico, tem-se uma lagrangiana que será uma função do campo $\phi(x)$ , em que $x=x^{\mu }$ e das derivadas $\partial _{\mu }\phi (x)$ , dessa maneira, o funcional ação pode ser escrito como

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ . / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.

Finalmente, a lagrangiana pode ser escrita como

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ , / [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.

onde ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$ , é conhecida como densidade lagrangiana.[9] A equação de Euler-Lagrange é:

$\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ ./ [V, DE] / $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ μ / h/c / T.

Primeiras unificações. Equações relativísticas

Equação de Klein-Gordon

Como foi dito acima, quando Schrödinger primeiro procurou uma equação que regesse os sistemas quânticos, pautou sua busca admitindo uma aproximação relativista, encontrando a depois redescoberta equação de Klein-Gordon:

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T [-1].

onde

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T.

A equação de Klein-Gordon, às vezes chamada de equação de Klein-Fock-Gordon (ou ainda Klein-Gordon-Fock) pode ser deduzida de algumas maneiras diferentes.

Usando-se a definição relativística de energia

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T.

chega-se à equação:

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T.

Essa expressão, por conter operadores diferenciais sob o radical, além de apresentar dificuldades computacionais, também apresenta dificuldades conceituais, já que se torna uma teoria não-local (pelo fato de a raiz poder ser expressa como uma série infinita). Por ser uma equação de segunda ordem não permite que fique bem definida a questão da normalização da função de onda.

Fock deduziu-a através da generalização da equação de Schrödinger para campos magnéticos (onde as forças dependem da velocidade). Fock e Klein usaram ambos o método de Kaluza-Klein para deduzi-la. O motivo, só mais tarde entendido, da inadequação desta equação ao átomo de hidrogênio é que ela se aplica bem somente a partículas sem carga e de spin nulo.

Equação de Dirac

Em 1928 Paul Dirac obteve uma equação relativística baseada em dois princípios básicos

A equação deveria ser linear na derivada temporal;
A equação deveria ser relativisticamente covariante.

A equação obtida por ele tinha a seguinte forma:

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

[V, DE] /

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

μ / h/c / T [-1].

onde $\alpha _{0}$ , $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ e $\alpha _{3}$ não são números reais ou complexos, mas sim matrizes quadradas com N² componentes. Semelhantemente, as funções $\psi$ são na verdade matrizes coluna da forma